最近、英語を勉強しようと思ったが、どうしても中国語をやってしまう。
碰（ポン）吃（チー）！自摸（ツモ）！
嘘だ。雀魂とかいう麻雀ゲームをやっているだけだ。
で、その中にはゲームによくある実績が設定されている。
図の１番上は１位を５連続で取る、一番下は２位以上を１０連続で取るという実績だ。
４人麻雀なので、１～４位が２５％ずつ均等に出るとすれば
①は勝率1/4で５連勝
②は勝率1/2で１０連勝
ということになる。
達成できる確率を計算するのは単純で、
①は1/4の５乗、②は1/2の１０乗でいずれも1/1024の確率となる。
しかし、必要な試行回数の期待値となると単純な話ではない。
成功確率が1/1024だから逆数の1024回で良いのではと思った方は私レベルのアホである。
４位以上（つまり１００％）を５連続でとれる確率は当然１であるが、必要な試行回数を考えると、逆数の１ではなく５回。
センター数学レベルだと思っていたのだが、そう簡単ではないようだ（確率の計算はセンターレベルにもならない）。
まず単純な例で、あいこを考えないじゃんけん（勝率1/2）で３連勝するのに必要な試行回数の期待値ｎを考える。
勝ちを○、負けを×と表記する。
唐突になるが最初の３回については
○○○
○○×
○×○
○××
×○○
×○×
××○
×××
の８通りとなる。それぞれ1/8の確率で発生する。これの続きで、試行回数が何回必要か考える。
（１）３連勝した場合（○○○の１通り、確率1/8）
３連勝したので終了し、試行回数ははじめの３回だけとなる。
（２）２連勝して負けた場合（○○×の１通り、確率1/8）
３回めに負けたため、また１からやり直しとなる。ここから必要な試行回数は定義から、ｎ回となる（！）。はじめの３回と合わせて、ｎ＋３回。
（３）１回勝って負けた場合（○×○、○××の２通り、確率1/4）
２回めに負けたため、ここからやり直しとなる。同様にｎ回必要になってくるが、消費した分は２回で済んでいるため、ｎ＋２回。
（４）１回めに負けた場合（残りの４通り、確率1/2）
１回めに負けたため、ここからｎ回。合計はｎ＋１回。
さて、（１）～（４）について、確率と試行回数が求まったので、期待値が求められる。
3×1/8 + (n+3)×1/8 + (n+2)×1/4 + (n+1)×1/2
計算すると、n × 7/8 + 7/4 となる。ところが、この試行回数の期待値はｎそのものである。
n × 7/8 + 7/4 ＝ n
これを解くと、n = 14 と求められる。
なんだか騙された気分がする。nについてきちんと向き合った気がしない。
妙に既視感があると思ったが、
【応用】不定積分の部分積分（もとの積分が現れる） | なかけんの数学ノート
【数III】積分すると同じ形になる 式をまるごと文字に置きかえ | mm参考書
こいつらであった。数学Ⅲでやる、部分積分を使うと元の形が現れるタイプ。
さて頑張って一般化しよう。
勝率pでq連勝するのに必要な試行回数をnとする。
はじめのq回について場合分けする。
（１）q連勝する場合 確率はp^q、試行回数はq回
（２）はじめ(k-1)連勝し、その次に負ける場合（1≦k≦q）
確率は p^(k-1) × (1-p)
試行回数は n+k 回
さて、（１）と（２）をあわせた期待値は
q × p^q ＋ Σ { (n+k) × p^(k-1) × (1-p) }
となり、これを計算するのだが、
nに関する項については、（１）はｎなし、（２）はすべてｎがかかるので (1 - p^q) n とまとめられる。
第2項の定数項は(1-p)を外に出せばおなじみの形。p倍して1個ずらして等比級数で云々。
第1項と合わせた定数項は(1-p^q)/(1-p)という等比級数の式そのまま（私はよくわからなかったが、当たり前なのかもしれない）。
後はこれがnと等しいことから、nの一次方程式を解くと、n={(1/p)^q - 1}/(1-p)と求められる。
もともと求めたかった、
①は勝率1/4で５連勝 (p = 1/4 、q = 5)
②は勝率1/2で１０連勝(p = 1/2 、q = 10)
に立ち返ると
①：(4^5 - 1)×4/3 = 1364回
②：(2^10 - 1)×2 =2046回
とわかる。
なお、三人麻雀の１位５連続は363回、２位以上１０連続は約170回となる。
こうしてみると連勝関連の実績の中では四人麻雀の2位以上10連続が圧倒的に難しい。
トップ率が25%ではない人もpに代入すれば計算ができる。
大学入試で出すと、深入りして死者が発生する悪問になりそうだ。
